1. Założenia obliczeniowe
Rys. 01. Obiekt przyjęty do analizy
rozstaw krokwi 1,1m
rozstaw łat 0,39m (zgodnie z wytycznymi producenta dachówek MONZAplus Roben)
położenie: Szczecin (I strefa obciążenia śniegiem, I strefa obciążenia wiatrem, obiekt nie jest na wzniesieniu)
długość obiektu: 14m
łata jest elementem dwuprzęsłowym
2. Zebranie obciążeń
obc. stałe
dachówka (MONZAplus Roben - rozstaw łat a=0,390m, ciężar jednej sztuki 3,95kg, ilość na 1m2 około 10)
\[\begin{aligned} 3,95 \cdot 10 \cdot 10/1000 \cdot 0,39 = 0,15kN/m \end{aligned} \]
ciężar własny łaty (drewno klasy C24)
\[\begin{aligned} 4,2 \cdot 0,04 \cdot 0,05 = 0,01 kN/m \end{aligned}\]
śnieg
\[\begin{aligned} S_k = 0,9 kPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} C_e = 1,0 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} C_t = 1,0 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \mu_1 = 0,8 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} S = \mu_1 \cdot C_e \cdot C_t \cdot S_k = 0,8 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 0,9 = 0,72 kPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \bar{S} = S \cdot a = 0,72 \cdot 0,39 = 0,28 kN/m \end{aligned}\]
wiatr
Największe wartości obciążenia wiatrem dla łaty występują gdy wiatr wieje pod kątem prostym do połaci dachu.
Przyjęto teren kategorii 3.
\[\begin{aligned} \nu_{b,0} = 22m/s \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} C_{season} = 1,0 \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} C_{dir} = 1,0 \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \nu_b = \nu_{b,0} \cdot C_{dir} \cdot C_{season} = 22 m/s \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} q_b = 0,5 \cdot \rho \cdot \nu_b^2 = 0,5 \cdot 1,25 \cdot 22^2 = 302,5 Pa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} z = 6,85 m \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} C_0 = 1,0 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} C_e = 1,9 \cdot (\frac{z}{10})^{0,26} = 1,9 \cdot ( \frac{6,85}{10})^{0,26} = 1,72 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} q_p(z) = C_e \cdot q_b = 1,72 \cdot 302,5 \cdot 10^{-3} = 0,52 kPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} e = Min(b; 2h) = Min(14;13,7) = 13,7m \end{aligned}\]
Tabela 1. Współczynniki ciśnienia zewnętrznego dla dachów dwuspadowych dla kąta dachu 22°
| F | G | H | I | J | |||||
| Cpe,10 | Cpe,1 | Cpe,10 | Cpe,1 | Cpe,10 | Cpe,1 | Cpe,10 | Cpe,1 | Cpe,10 | Cpe,1 |
| -0,71 | -1,77 | -0,66 | -1,50 | -0,25 | -0,25 | -0,40 | -0,40 | -0,77 | -1,03 |
| 0,43 | 0,43 | 0,43 | 0,43 | 0,29 | 0,29 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
parcie wiatru
\[\begin{aligned} w_e = q_p(z) \cdot C_{pe} = 0,52 \cdot 0,43 = 0,22 kPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \bar{w_e} = w_e \cdot a = 0,22 \cdot 0,39 = 0,09 kN/m \end{aligned}\]
ssanie wiatru
\[\begin{aligned} w_e = q_p(z) \cdot C_{pe} = 0,52 \cdot (-1,77) = -0,92 kPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \bar{w_e} = w_e \cdot a = -0,92 \cdot 0,39 = -0,36 kN/m \end{aligned}\]
obciążenie użytkowe
kategoria użytkowa H: 1kN
\[\begin{aligned} P = 1kN \end{aligned}\]
3. Kombinacje obciążeń i założenia obliczeniowe
Rys. 02. Schemat pracy elementu
Pionowe obciążenia będą oznaczane indeksem V, poziome H.
Obciążenia wprowadza się do programu jako wartości charakterystyczne z zadaniem odpowiednich współczynników bezpieczeństwa (γf), uwzględniających współczynniki ψ, ξ kombinacji obciążeń normy
PN-EN 1990. Wybrano kombinację stanu granicznego "STR" w sytuacji najbardziej niekorzystnej, czyli dającej największe wartości obciążenia zbiorczego przy pomocy wzorów: 6.10a, 6.10b (PN-EN 1990). W przykładzie będzie używane oznaczenie γf jako wartość ostateczna współczynników normowych do określenia wartości obciążeń obliczeniowych (inne oznaczenie niżeli podaje norma PN-EN 1990), gdyż w taki sposób zostanie to wprowadzane do programu wykorzystanego do wyliczenia statyki (program jest na bazie polskich norm i nie ma oznaczeń odpowiadających normom europejskim).
Przyjęto drugą klasę użytkowania konstrukcji (PN-EN 1995-1-1).
sytuacja I: obciążenie stałe + obciążenie użytkowe
stałe (γf =1,15)
\[\begin{aligned} Q_{1,V,k} = Q_{stałe} \cdot cos(\alpha) = 0,16 \cdot cos(22°) = 0,15 kN/m \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} Q_{1,H,k} = Q_{stałe} \cdot sin(\alpha) = 0,16 \cdot sin(22°) = 0,06 kN/m \end{aligned}\]
użytkowe (γf =1,50)
\[\begin{aligned} P_{V,k} = P_{użyt} \cdot cos(\alpha) = 1 \cdot cos(22°) = 0,93 kN \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} Q_{H,k} = P_{użyt} \cdot sin(\alpha) = 1 \cdot sin(22°) = 0,38 kN \end{aligned}\]
sytuacja II: obciążenie stałe + obciążenie śniegiem + obciążenie wiatrem (parcie)
stałe (γf =1,15)
\[\begin{aligned} Q_{1,V,k} = Q_{stałe} \cdot cos(\alpha) = 0,16 \cdot cos(22°) = 0,15 kN/m \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} Q_{1,H,k} = Q_{stałe} \cdot sin(\alpha) = 0,16 \cdot sin(22°) = 0,06 kN/m \end{aligned}\]
śnieg (γf =1,50)
\[\begin{aligned} Q_{2,V,k} = Q_{śnieg} \cdot cos(\alpha)\cdot cos(\alpha) = 0,28 \cdot cos(22°)\cdot cos(22°) = 0,24 kN/m \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} Q_{2,H,k} = Q_{śnieg} \cdot sin(\alpha)\cdot cos(\alpha) = 0,28 \cdot sin(22°)\cdot cos(22°) = 0,10 kN/m \end{aligned}\]
wiatr (γf =1,50)
\[\begin{aligned} Q_{3,V,k} = 0,09 kN/m \end{aligned}\]
sytuacja III: obciążenie stałe + obciążenie wiatrem (ssanie)
stałe (γf =1,00)
\[\begin{aligned} Q_{1,V,k} = Q_{stałe} \cdot cos(\alpha) = 0,16 \cdot cos(22°) = 0,15 kN/m \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} Q_{1,H,k} = Q_{stałe} \cdot sin(\alpha) = 0,16 \cdot sin(22°) = 0,06 kN/m \end{aligned}\]
wiatr (γf =1,50)
\[\begin{aligned} Q_{4,V,k} = -0,36 kN/m \end{aligned}\]
przyjęto do obliczeń: ze wszystkich kombinacji największe wytężenie konstrukcji będzie dla I sytuacji obliczeniowej i ją przyjęto do dalszych obliczeń
Obliczenia statyczne wykonano w programie RM-Win. Poniżej widoczny jest wydruk z programu.
4. Wydruk z programu do statyki RM-Win
4.1. Obciążenie działające prostopadle do łaty
WĘZŁY:
WĘZŁY:
------------------------------------------------------------------
Nr: X [m]: Y [m]:
------------------------------------------------------------------
1 0,000 0,000
2 1,100 0,000
3 2,200 0,000
------------------------------------------------------------------
PODPORY: P o d a t n o ś c i
------------------------------------------------------------------
Węzeł: Rodzaj: Kąt: Dx(Do*): Dy: DFi:
[ m / k N ] [rad/kNm]
------------------------------------------------------------------
1 stała 0,0 0,000E+00 0,000E+00
2 przesuwna 0,0 0,000E+00*
3 przesuwna 0,0 0,000E+00*
------------------------------------------------------------------
PRĘTY UKŁADU:
Typy prętów: 00 - sztyw.-sztyw.; 01 - sztyw.-przegub;
10 - przegub-sztyw.; 11 - przegub-przegub
22 - cięgno
------------------------------------------------------------------
Pręt: Typ: A: B: Lx[m]: Ly[m]: L[m]: Red.EJ: Przekrój:
------------------------------------------------------------------
1 00 1 2 1,100 0,000 1,100 1,000 1 B 40x50
2 00 2 3 1,100 0,000 1,100 1,000 1 B 40x50
------------------------------------------------------------------
WIELKOŚCI PRZEKROJOWE:
------------------------------------------------------------------
Nr. A[cm2] Ix[cm4] Iy[cm4] Wg[cm3] Wd[cm3] h[cm] Materiał:
------------------------------------------------------------------
1 20,0 42 27 13 13 4,0 71 Drewno C24
------------------------------------------------------------------
STAŁE MATERIAŁOWE:
------------------------------------------------------------------
Materiał: Moduł E: Napręż.gr.: AlfaT:
[N/mm2] [N/mm2] [1/K]
------------------------------------------------------------------
71 Drewno C24 11 24,000 5,00E-06
------------------------------------------------------------------
OBCIĄŻENIA:
OBCIĄŻENIA: ([kN],[kNm],[kN/m])
------------------------------------------------------------------
Pręt: Rodzaj: Kąt: P1(Tg): P2(Td): a[m]: b[m]:
------------------------------------------------------------------
Grupa: A "" Zmienne γf= 1,15
1 Liniowe 0,0 0,150 0,150 0,00 1,10
2 Liniowe 0,0 0,150 0,150 0,00 1,10
Grupa: B "" Zmienne γf= 1,50
1 Skupione 0,0 0,930 0,48
------------------------------------------------------------------
==================================================================
W Y N I K I
Teoria I-go rzędu
==================================================================
OBCIĄŻENIOWE WSPÓŁ. BEZPIECZ.:
------------------------------------------------------------------
Grupa: Znaczenie: ψd: γf:
------------------------------------------------------------------
A -"" Zmienne 1 1,00 1,15
B -"" Zmienne 1 1,00 1,50
------------------------------------------------------------------
MOMENTY:
SIŁY PRZEKROJOWE: T.I rzędu
Obciążenia obl.: AB
------------------------------------------------------------------
Pręt: x/L: x[m]: M[kNm]: Q[kN]: N[kN]:
------------------------------------------------------------------
1 0,00 0,000 0,000 0,741 0,000
0,43 0,475 0,333* -0,736 0,000
0,43 0,475 0,333* 0,659 0,000
1,00 1,100 -0,161 -0,844 0,000
2 0,00 0,000 -0,161 0,241 0,000
1,00 1,100 -0,000 0,051 0,000
------------------------------------------------------------------
* = Wartości ekstremalne
DEFORMACJE: T.I rzędu
Obciążenia char.: A
------------------------------------------------------------------
Pręt: Wa[m]: Wb[m]: FIa[deg]: FIb[deg]: f[m]: L/f:
------------------------------------------------------------------
1 -0,0000 -0,0000 -0,081 -0,000 0,0004 2717,1
2 -0,0000 -0,0000 -0,000 0,081 0,0004 2717,1
------------------------------------------------------------------
DEFORMACJE: T.I rzędu
Obciążenia char.: B
------------------------------------------------------------------
Pręt: Wa[m]: Wb[m]: FIa[deg]: FIb[deg]: f[m]: L/f:
------------------------------------------------------------------
1 -0,0000 -0,0000 -1,088 0,644 0,0063 174,7
2 -0,0000 -0,0000 0,644 -0,322 0,0024 463,0
------------------------------------------------------------------
4.2. Obciążenie działające równolegle do łaty
PRĘTY UKŁADU:
Typy prętów: 00 - sztyw.-sztyw.; 01 - sztyw.-przegub;
10 - przegub-sztyw.; 11 - przegub-przegub
22 - cięgno
------------------------------------------------------------------
Pręt: Typ: A: B: Lx[m]: Ly[m]: L[m]: Red.EJ: Przekrój:
------------------------------------------------------------------
1 00 1 2 1,100 0,000 1,100 1,000 1 B 50x40
2 00 2 3 1,100 0,000 1,100 1,000 1 B 50x40
------------------------------------------------------------------
WIELKOŚCI PRZEKROJOWE:
------------------------------------------------------------------
Nr. A[cm2] Ix[cm4] Iy[cm4] Wg[cm3] Wd[cm3] h[cm] Materiał:
------------------------------------------------------------------
1 20,0 42 27 17 17 5,0 71 Drewno C24
------------------------------------------------------------------
STAŁE MATERIAŁOWE:
------------------------------------------------------------------
Materiał: Moduł E: Napręż.gr.: AlfaT:
[N/mm2] [N/mm2] [1/K]
------------------------------------------------------------------
71 Drewno C24 11 24,000 5,00E-06
------------------------------------------------------------------
OBCIĄŻENIA:
OBCIĄŻENIA: ([kN],[kNm],[kN/m])
------------------------------------------------------------------
Pręt: Rodzaj: Kąt: P1(Tg): P2(Td): a[m]: b[m]:
------------------------------------------------------------------
Grupa: A "" Zmienne γf= 1,15
1 Liniowe 0,0 0,060 0,060 0,00 1,10
2 Liniowe 0,0 0,060 0,060 0,00 1,10
Grupa: B "" Zmienne γf= 1,50
1 Skupione 0,0 0,380 0,48
------------------------------------------------------------------
==================================================================
W Y N I K I
Teoria I-go rzędu
==================================================================
OBCIĄŻENIOWE WSPÓŁ. BEZPIECZ.:
------------------------------------------------------------------
Grupa: Znaczenie: ψd: γf:
------------------------------------------------------------------
A -"" Zmienne 1 1,00 1,15
B -"" Zmienne 1 1,00 1,50
------------------------------------------------------------------
MOMENTY:
SIŁY PRZEKROJOWE: T.I rzędu
Obciążenia obl.: AB
------------------------------------------------------------------
Pręt: x/L: x[m]: M[kNm]: Q[kN]: N[kN]:
------------------------------------------------------------------
1 0,00 0,000 0,000 0,302 0,000
0,43 0,475 0,136* -0,301 0,000
0,43 0,475 0,136* 0,269 0,000
1,00 1,100 -0,066 -0,344 0,000
2 0,00 0,000 -0,066 0,098 0,000
1,00 1,100 0,000 0,022 0,000
------------------------------------------------------------------
* = Wartości ekstremalne
DEFORMACJE: T.I rzędu
Obciążenia char.: A
------------------------------------------------------------------
Pręt: Wa[m]: Wb[m]: FIa[deg]: FIb[deg]: f[m]: L/f:
------------------------------------------------------------------
1 -0,0000 -0,0000 -0,021 -0,000 0,0001 10613,8
2 -0,0000 -0,0000 0,000 0,021 0,0001 10613,8
------------------------------------------------------------------
DEFORMACJE: T.I rzędu
Obciążenia char.: B
------------------------------------------------------------------
Pręt: Wa[m]: Wb[m]: FIa[deg]: FIb[deg]: f[m]: L/f:
------------------------------------------------------------------
1 -0,0000 -0,0000 -0,284 0,168 0,0016 667,9
2 -0,0000 0,0000 0,168 -0,084 0,0006 1770,6
------------------------------------------------------------------
5. Wymiarowanie elementu zgodnie z PN-EN 1995-1-1
5.1. Nośność konstrukcji
\[\begin{aligned} k_h = Min((\frac{150}{h})^{0,2};1,3)=Min((\frac{150}{50})^{0,2};1,3)=1,25 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f_{m,d} = k_{mod}\cdot\frac{f_{m,k}\cdot k_h}{γ_M}= 1,1\cdot\frac{24 \cdot 1,25}{1,3} = 25,39 MPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} A = b \cdot h = 5 \cdot 4 = 20 cm^2 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \cdot f_{c,0,d}}+\frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}}+k_m \cdot \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} \le 1 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \cdot f_{c,0,d}}+k_m \cdot \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}}+ \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} \le 1 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sigma_{c,0,d} = \frac{N_{a,d}}{A} = 0 MPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sigma_{c,0,d} = 0 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} W_y = \frac{b \cdot h^2}{6} = \frac{5 \cdot 4^2}{6} = 13,33 cm^3 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sigma_{m,y,d} = \frac{M_y}{W_y} = \frac{0,33}{13,33} \cdot 1000 = 24,76 MPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} W_z = \frac{h \cdot b^2}{6} = \frac{4 \cdot 5^2}{6} = 16,67 cm^3 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sigma_{m,z,d} = \frac{M_z}{W_z} = \frac{0,14}{16,67} \cdot 1000 = 8,40 MPa \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \cdot f_{c,0,d}}+\frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}}+k_m \cdot \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} \le 1 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \cdot f_{c,0,d}}+k_m \cdot \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}}+ \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} \le 1 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 0+\frac{24,76}{25,39}+0,7 \cdot \frac{8,40}{25,39} \le 1 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 0+0,7 \cdot \frac{24,76}{25,39}+ \frac{8,40}{25,39} \le 1 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 1,21 > 1 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 1,01 > 1 \end{aligned}\]
Warunek nośności nie został spełniony.
5.2. Ugięcie konstrukcji
stałe pion
\[\begin{aligned} u_{fin,V,1}= u_{inst,V,1}\cdot(1+k_{def}) = 0,4\cdot(1+0,8) = 0,7 mm \end{aligned}\]
stałe poziom
\[\begin{aligned} u_{fin,H,1}= u_{inst,H,1}\cdot(1+k_{def}) = 0,1\cdot(1+0,8) = 0,2 mm \end{aligned}\]
użytkowe pion
\[\begin{aligned} u_{fin,V,2}= u_{inst,V,2}\cdot(1+\psi_2 \cdot k_{def}) = 6,3\cdot(1+0,0\cdot0,8) = 6,3 mm \end{aligned}\]
użytkowe poziom
\[\begin{aligned} u_{fin,H,2}= u_{inst,H,2}\cdot(1+\psi_2 \cdot k_{def}) = 1,6\cdot(1+0,0\cdot0,8) = 1,6 mm \end{aligned}\]
suma
\[\begin{aligned} u_{fin}= \sqrt{(u_{fin,H,1} + u_{fin,H,2})^2 + (u_{fin,V,1} +u_{fin,V,2})^2}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned} u_{fin}= \sqrt{(0,2 + 1,6)^2 + (0,7 +6,3)^2} = 7,2 mm\end{aligned}\]
\[\begin{aligned} u_{net,fin}= L / 150 = 1100 / 150 = 7,3 mm \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} u_{fin} \le u_{net,fin} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 7,2 < 7,3 \end{aligned}\]
Warunek ugięcia został spełniony.
W powyższym przykładzie nośność łaty nie została zapewniona.
6. Komentarz
Do momentu wprowadzenia norm europejskich prawie nikt nie zastanawiał się nad nośnością łat w konstrukcjach dachowych, traktując je jako element o zawsze zapewnionej nośności. Eurokody w stosunku do polskich norm wprowadziły wiele znaczących zmian, chociażby jeśli chodzi o współczynnik bezpieczeństwa dla obciążenia siłą skupioną w chwili remontu/budowy konstrukcji (wcześniej 1,2 teraz 1,5). Niniejszy przykład miał na celu pokazanie problemu prawidłowego rozstawu krokwi, który powinien być m.in. uzależniony od nośności zastosowanych łat. W przykładzie posłużono się klasą drewna C24, jednakże w praktyce aby drewno miało taką klasę, musiałoby być sortowane wytrzymałościowo zgodnie z wymogami nowych przepisów europejskich. Dużo materiałów w Polsce nie osiąga takiej klasy i często materiał stosowany na budowie ma gorsze parametry niżeli założone przez projektantów C24, co jeszcze bardziej może zawężać dopuszczalny rozstaw krokwi.
opracowanie: mgr inż. Rafał Nowak (ZUT KBOiKD, INTERWOT)